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https://doi.org/10.47460/minerva.v5i14.161
Uso de GeoGebra como recurso didáctico
para la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales
Recibido (18/02/2024), Aceptado (17/04/2024)
Lascano Edisson
https://orcid.org/0000-0001-8267-6765
elascano3441@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
Portoviejo-Ecuador
Resumen: El objetivo de este trabajo fue probar estadísticamente si el software gratuito GeoGebra es útil
como herramienta didáctica para facilitar el proceso de enseñanza–aprendizaje de las ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales (EDO). Con este propósito, se trabajó con un grupo de estudiantes de una
carrera de ingeniería a quienes, en primera instancia, se les impartió clases de forma tradicional, mientras
que, en la segunda fase se utilizó GeoGebra como herramienta de apoyo didáctico para mejorar la
comprensión y facilitar la solución de estas ecuaciones. Las calificaciones que obtuvieron los estudiantes en
cada etapa del proceso fueron utilizadas para realizar la prueba no paramétrica de Wilcoxon para dos
muestras relacionadas aplicando el software libre R, con lo cual se demostró que la estrategia didáctica
implementada permitió que los estudiantes logren una mejor comprensión de la teoría básica de las EDO
lineales.
Palabras clave: ecuaciones diferenciales ordinarias, solución de una EDO, GeoGebra.
Abstract.- The objective of this work was to statistically test whether the free software GeoGebra is useful
as a didactic tool to facilitate the teaching-learning process of linear ordinary differential equations (ODE).
For this purpose, we worked with a group of engineering students who, in the first instance, were taught
traditionally, while in the second phase, GeoGebra was used as a didactic support tool to improve
understanding and facilitate the solution of these equations. The grades obtained by the students in each
stage of the process were used to perform the Wilcoxon nonparametric test for two related samples
applying the free software R, which showed that the didactic strategy implemented allowed the students to
achieve a better understanding of the basic theory of linear ODEs.
Keywords: ordinary differential equations, solution of an ODE, GeoGebra.
Use of GeoGebra as a didactic resource for the solution of linear ordinary
differential equations.
Lascano E. et al. Uso de GeoGebra como recurso didáctico para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Alay Alba
https://orcid.org/0000-0002-5436-9706
alba.alay@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
Portoviejo-Ecuador
Rivadeneira Fredy
https://orcid.org/0000-0002-3106-2170
freddy.rivadeneira@utm.edu.ec
Universidad Técnica de Manabí
Portoviejo-Ecuador
ISSN-E: 2697-3650
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I. INTRODUCCIÓN
El estudio de las ecuaciones diferenciales se origina desde los albores del cálculo con los estudios y
descubrimientos de Newton y Leibniz en el siglo XVII. Desde entonces, matemáticos como Jakob y Johann
Bernoulli, Cauchy, Riccati, Poncairé y muchos otros han hecho aportes formidables a la teoría de las
ecuaciones diferenciales para ampliarla y enriquecerla [1]. Del mismo modo, el campo de aplicación de las
ecuaciones diferenciales se ha extendido a áreas como biología, demografía, economía, educación; además
de las tradicionales como física, química, astronomía y tantos otros. A partir del 2020, varios matemáticos
como: Guinovart, Morales y Cortés en Cuba, Cavalleri, en Uruguay; Pernalete en Perú, Ferreira en Chile y
Ramírez-Valverde en México, emprendieron la tarea de desarrollar modelos matemáticos para estudiar y
predecir el comportamiento de la pandemia del coronavirus en sus respectivos países. La información que
ellos obtuvieron fue empleada por los gobiernos de sus respectivos países para implementar políticas de
estado que les permitieron controlar la expansión de la epidemia [2] [3], [4], [5], [6].
En la etapa universitaria, un aspecto que merece especial interés son las dificultades con las que se
enfrentan los estudiantes que toman un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias; una de ellas es la
interpretación de las soluciones; es decir, los estudiantes pueden tener dificultades para comprender el
significado de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Además de lo anterior, los
estudiantes suelen tener problemas para identificar el orden y el grado de una ecuación diferencial, así
como para plantear adecuadamente las ecuaciones diferenciales, lo cual implica identificar correctamente
las variables de interés, identificar las condiciones iniciales o las condiciones de frontera y formular de forma
precisa la ecuación diferencial. Otro aspecto que representa un problema para algunos estudiantes es
escribir la ecuación diferencial ordinaria en la forma de la ecuación (2), lo cual les impide o dificulta
reconocerla como lineal [7].
Otra dificultad para el aprendizaje de las ecuaciones diferenciales es inherente a estas y consiste en que la
mayoría de ellas no tiene solución analítica, por lo cual para resolverlas se debe recurrir a los métodos
numéricos y al uso de computadoras y software especializado como Matlab u Octave o a la necesidad de
aprender a programar en lenguajes como Python o similares. Cabe destacar que el uso de software privativo
especializado puede ser fuente de otras dificultades, tales como las económicas debido a que las licencias
de la mayoría de estos programas tienen costos que no siempre están al alcance de los estudiantes; por otra
parte, estos programas suelen necesitar el uso de equipos más sofisticados, lo cual nuevamente puede
repercutir negativamente en la economía, tanto de los docentes como de los estudiantes.
A escala mundial, un aspecto coyuntural de alta incidencia en los procesos educativos es la nueva realidad
impuesta por la pandemia de COVID-19, la cual promovió la masificación forzada del uso de los recursos de
la internet, tal como lo reporta la Unión Internacional de Telecomunicaciones (UIT), el organismo
especializado de las Naciones Unidas para las tecnologías de la información y la comunicación, entidad que
publicó que el número estimado de usuarios de internet aumentó de 4100 millones en 2019 a 4900 millones
en 2021 [9]. En esa misma línea de criterio, se calcula que la emergencia sanitaria impulsó un avance de diez
años en términos de habituarnos al uso de las tecnologías; lo mismo ocurrió con las universidades,
profesores y alumnos; todos tuvieron que adaptarse a las clases en línea y al uso imprescindible de los
recursos de la web [10].
Enfocándonos en el ámbito nacional, a pesar de que no se encontraron estudios relativos en el Ecuador, las
dificultades de aprendizaje de las EDO son un hecho conocido en la institución educativa donde se realizó
este trabajo, precisamente, hallar una forma de superar esas dificultades fue una de las motivaciones para
realizar este estudio.
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Lascano E. et al. Uso de GeoGebra como recurso didáctico para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
Para empezar, es necesario considerar la importancia que otorga el Estado Ecuatoriano al aprendizaje de
las matemáticas, lo cual queda evidenciado en la sección Fundamentos epistemológicos y pedagógicos, del
texto publicado por el Ministerio de Educación del Ecuador en el que se menciona a la Representación como
el segundo de tres fundamentos; en esa sección se resaltan la importancia del lenguaje para comunicar
interpretaciones y soluciones de los problemas, para reconocer conexiones entre conceptos relacionados,
de la modelización para aplicar la Matemática a problemas de la vida real, del uso de los nuevos recursos de
las tecnologías de la información y la comunicación en el quehacer matemático [8]; de este escrito también
deduce la importancia y la pertinencia que otorga el Estado Ecuatoriano a la aplicación de los recursos
tecnológicos y a la modelización para resolver problemas matemáticos, lo cual debe servir al menos de base
procedimental para aplicarse en la enseñanza–aprendizaje de las matemáticas en la formación universitaria,
en las diversas áreas de pregrado, por lo menos.
Por lo expuesto y considerando la limitada economía de la mayoría de estudiantes de las universidades
públicas del Ecuador y las dificultades académicas en el aprendizaje de las EDO, se propuso el uso del
software gratuito GeoGebra como herramienta didáctica que facilite la visualización, la manipulación y los
registros representativos de la solución de las ecuaciones diferenciales lineales o de primer orden, para
aprovechar las ventajas que este software ofrece, por ejemplo ser multiplataforma, su requerimiento de
recursos modestos de hardware por lo cual puede ser instalado en celulares, computadoras y tabletas de
gama media, además de ser multilingüe, entre otras ventajas [11].
A partir de estos antecedentes, el objetivo de este trabajo fue probar estadísticamente si GeoGebra es útil
como herramienta didáctica para facilitar el proceso de enseñanza – aprendizaje de las ecuaciones
diferenciales ordinarias lineales de modo que los estudiantes superen las dificultades reportadas en los
trabajos de investigación consultados.
La estructura de este trabajo es la siguiente: en la primera parte consta una breve reseña histórica del
proceso de desarrollo de las EDO y sus aplicaciones en la actualidad; en la segunda parte se presenta de
forma concisa la teoría básica de las EDO lineales o de primer orden, se presenta el Problema de Cauchy y se
reseñan los métodos de solución analíticos y numéricos, así como el uso de GeoGebra como herramienta de
apoyo didáctico para resolver las EDO; finalmente, en esta misma sección se presenta una sinopsis de la
teoría pedagógica que sustenta el presente trabajo. En la tercera parte, se describen los procesos para la
obtención de datos y el análisis estadístico efectuado. En la cuarta parte, consta el análisis estadístico y en la
parte final se presentan los resultados obtenidos.
DESARROLLO
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial en la que la variable
dependiente aparece con su primera derivada respecto a una variable independiente; una característica de
estas ecuaciones es que no existe un método general para resolverlas en términos de funciones
elementales. Además, en estas ecuaciones se debe cumplir que la función f(t, x) dependa linealmente de la
variable dependiente x [1] [12]. En la ecuación (1), de modo muy simple se observa que t es la variable
independiente, y que x, es la variable dependiente. La forma general de una EDO de primer orden es la
siguiente:
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Se debe enfatizar que p(x) y q(x) y deben ser funciones conocidas y continuas en un intervalo a< b < c. Por
otro lado, para comprobar que una función φ definida en algún intervalo I es solución de una ecuación
diferencial en este intervalo, se debe reemplazar φ en la ecuación diferencial y esta debe reducirse a una
identidad conocida [1]. Entre los métodos analíticos para resolver una ecuación diferencial lineal o de primer
orden se pueden mencionar el factor integrante y la variación de parámetros. Cuando la ecuación diferencial
no tiene solución analítica, una opción es utilizar métodos numéricos, como Euler, Heun y Runge – Kutta
[13]; otra opción es hacer uso de las TIC o emplear programas especializados como GeoGebra, Matlab u
Octave; también es posible emplear recursos en línea como Symbolab, Sr. Examen o lenguajes de
programación como Python y C ++, para resolverlas.
Cuando se resuelve la ecuación diferencial (2), se obtiene una función G(x, y, c) = 0, conocida como solución
general, en la cual la constante real arbitraria c, indica que la función G representa a un conjunto de
soluciones, llamado familia de soluciones uniparamétricas de (2), lo cual implica que una ecuación diferencial
puede tener infinitas soluciones [12].
Si se da una condición inicial, se puede asignar un único valor al parámetro c y se obtiene una solución
particular de la ecuación diferencial. Por ejemplo, la familia de soluciones de la ecuación diferencial
La importancia práctica de las EDO radica en sus aplicaciones en todas las ramas de la ingeniería; así
mismo, se emplean para modelizar fenómenos físicos, químicos, biológicos e inclusive, fenómenos sociales
[13]; la aplicación de las ecuaciones diferenciales para elaborar modelos matemáticos se extiende, por lo
tanto, a todas las áreas de investigación científica.
Toda ecuación diferencial lineal ordinaria puede ser escrita de la siguiente forma:
es donde c es un número real cualquiera. En este sentido, para una ecuación diferencial la
condición
se llama condición inicial. Al problema de la búsqueda de la solución de la ecuación
que satisface a la condición inicial se le llama Problema de Cauchy [14].
A. Uso de GeoGebra para resolver EDO lineales
GeoGebra, entre su vasta gama de funciones, posee varias que permiten resolver ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias. Se utiliza la función ResuelveEDO para atender los problemas relacionados con este tipo
de ecuaciones; a continuación, se detalla el proceso para el uso de esta función:
Ejecutar GeoGebra.1.
Abrir la vista gráfica (casi siempre GeoGebra se abre por defecto en esta vista).2.
En la barra de funciones de GeoGebra ingresar: “ResuelveEDO”.3.
Seleccionar la opción ResuelveEDO( f’ (x, y) ).4.
Escribir la ecuación diferencial que se desea resolver en la forma y’ = g(x, y) e ingresar g(x, y) en la
función “ResuelveEDO( )” de Geogebra.
5.
Se creará un deslizador, que puede ser editado; y al mismo tiempo, aparecerá la solución general de la
ecuación diferencial y el gráfico respectivo.
6.
En la figura 1 se muestra una pequeña parte de la familia de soluciones de la ecuación diferencial (3) para
valores entre -3 y 1.
(3)
(2)
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La curva de color negro es la gráfica de la solución numérica de la misma ecuación diferencial en el intervalo
[-2π, 2π]. La función de GeoGebra que se utiliza para obtener la solución numérica es: ResuelveEDO(f'(x, y), x
inicial, y inicial, x final, Paso), donde “x inicial” e “y inicial” son una condición inicial, x final es el extremo
derecho del intervalo de integración y “Paso” es la amplitud constante del subintervalo de integración que se
desea utilizar. Para el ejemplo resuelto, se utilizaron: x inicial = -2Π , y inicial = 2Π , x final = 2Π y Paso = 0,01.
El uso didáctico de GeoGebra en la enseñanza de las ecuaciones diferenciales se sustenta en la Teoría de
Registros de Representación Semiótica, que fue desarrollada y propuesta por el filósofo y psicólogo francés
Raymond Duval en 1995. Partiendo de que, por definición, la Semiótica designa la teoría general de los
signos, tanto verbales como no verbales, respecto a su significación, producción, transmisión e
interpretación, Duval enfocó su teoría en el estudio de los diferentes sistemas de signos que permiten la
comunicación entre individuos, sus modos de producción, de funcionamiento y de recepción [15]. De
acuerdo con Duval, los objetos matemáticos no son accesibles a la percepción, por lo tanto, es necesario
representarlos; por ello en su teoría Duval establece que es esencial el uso de sistemas de representaciones
semióticas para el pensamiento matemático, porque la única forma de tener acceso a los objetos
matemáticos es a través de la producción de representaciones semióticas y que cada registro de
representación es cognitivamente parcial con respecto a lo que él representa [15].
La Teoría de Registros de Representación Semiótica ha sido aplicada con éxito en el ámbito educativo, pues
se ha comprobado que su uso influye significativamente en las competencias matemáticas de los
estudiantes [16]. Es muy importante relievar que los planteamientos de Duval tienen directa concordancia
con los planteamientos del Ministerio de Educación del Ecuador, entidad que publicó que, en matemáticas,
la Representación “se refiere al uso de recursos verbales, simbólicos y gráficos, y a la traducción y conversión
de estos. El lenguaje matemático es representacional, pues nos permite designar objetos abstractos que no
podemos percibir; y es instrumental, según se refiera a palabras, símbolos o gráficas” [8].
En la realización de este trabajo, la tarea principal del docente fue utilizar los recursos didácticos adecuados
para motivar a los estudiantes, creando de forma conjunta el ambiente propicio para que ellos logren la
aprehensión conceptual de los objetos matemáticos. El uso de GeoGebra fue clave para lograr este
propósito ya que permite la manipulación de símbolos, imágenes y se facilita el trabajo grupal, fortaleciendo
el aprendizaje colaborativo y la socialización, se fomentan la experimentación y verificación de hipótesis y se
simplifica la solución de problemas. Además, GeoGebra permite ludificar la experiencia de aprendizaje, lo
cual sumado con el trabajo en equipo potencian la zona de desarrollo próximo de Vigotsky [17].
Fig. 1. Gráfico en GeoGebra de la solución general de
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III. METODOLOGÍA
Este trabajo tiene enfoque mixto, diseño descriptivo y cuasiexperimental, corte transversal, alcance
correlacional y su concepción se circunscribe en la aplicación del método hipotético deductivo. La validación
estadística se efectuó con la aplicación de la prueba no paramétrica de Wilcoxon para dos muestras
relacionadas, utilizando el software libre R [18]. El grupo de estudiantes con los que se trabajó cursaban
cuarto semestre de una carrera de ingeniería en una universidad pública ecuatoriana; todos ellos estaban
tomando la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
La primera fase del trabajo consistió en realizar clases de refuerzo de derivadas y técnicas de integración.
Posteriormente, se introdujo el tema EDO lineales, realizando una reseña histórica y mencionando las
numerosas aplicaciones de estas en todas las áreas académicas, científicas y de ingeniería; incentivando a
los estudiantes para que participen de forma activa en el proceso de enseñanza – aprendizaje. La segunda
etapa fue plantear una prueba que se utilizó como pretest; este instrumento fue cuidadosamente revisado,
tanto en su contenido, como en su forma, aplicando la Taxonomía de Bloom, de modo que se abarquen los
aspectos conceptuales, la comprensión y la aplicación. A los estudiantes se les proporcionó una rúbrica de
evaluación que fue utilizada por el docente para la calificación individual.
En la tercera fase del proceso, se empleó GeoGebra como herramienta de apoyo didáctico, teniendo como
objetivos reforzar conocimientos, aclarar conceptos y facilitar la compresión de la solución de las EDO
lineales. La aplicación de la estrategia didáctica se realizó con la modalidad de entorno colaborativo para
aprovechar los recursos humanos individuales y grupales, buscando activar la zona de desarrollo próximo,
fomentando la socialización y la creatividad de cada estudiante [19]. Como herramienta de apoyo
tecnológico se utilizaron los teléfonos celulares, en los que previamente se había instalado el software. La
cuarta parte del trabajo consistió en plantear el post test, cuyo instrumento de evaluación fue elaborado y
planteado con la misma rigurosidad que el pretest; los resultados obtenidos fueron ingresados en la base de
datos que se utilizó para realizar el análisis estadístico pertinente, utilizando el software libre R. Para la
operacionalización de variables, se consideró como variable independiente la aplicación de GeoGebra como
recurso didáctico; mientras que las calificaciones obtenidas en el pretest y el post test fueron consideradas
como la variable dependiente [20].
A. Tipo de muestreo
El tipo de muestreo fue no probabilístico y por conveniencia; por ello no fue necesario calcular el tamaño
de la muestra, pues se trabajó con todos los estudiantes inscritos en el curso regular de la asignatura. Con
este fundamento, el primer ítem de cada uno de los instrumentos de evaluación se formuló para indagar el
nivel de conceptualización alcanzado por los estudiantes; en esta parte se proporcionó una tabla cuya
primera columna contenía seis ecuaciones y los estudiantes debían reconocer el orden, el grado y
determinar si cada una es o no lineal. El segundo ítem se elaboró para cuantificar el nivel de comprensión de
los estudiantes acerca del significado de la solución general de una EDO, para lo cual se les proporcionó una
primera ecuación y luego una segunda ecuación para que ellos determinen si esta última es o no una
solución general de la primera. Finalmente, en el tercer ítem se planteó un problema de valores iniciales
(problema de Cauchy) para determinar el nivel de su capacidad de resolución de problemas [27].
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IV. RESULTADOS
A. Análisis del pretest
En concordancia con los resultados que reportan los estudios previamente realizados acerca de las
dificultades que presentan los estudiantes en los cursos de ecuaciones diferenciales ordinarias [7], la
mayoría de los estudiantes tuvo dificultades para determinar el orden y el grado de las EDO, así como de
demostrar o descartar la linealidad. Los datos recogidos a partir de la realización del pretest se presentan en
la tabla 1:
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Tabla 1. Errores cualitativos contabilizados en el pretest.
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El análisis estadístico descriptivo de las calificaciones del pretest se presenta a continuación:
Fig 2. Análisis estadístico descriptivo de los datos del pretest.
Se observó que el 75 % de estudiantes obtuvo una calificación menor o igual a 5,63; lo cual se debió a que
la mayoría de ellos no logró resolver el segundo o el tercer ítem de la evaluación. Estos resultados
concuerdan con los reportes de las investigaciones anteriores [7]. En cuanto al ajuste de los datos, la prueba
de Lilliefors permitió determinar, con un 95 % de confianza, que las calificaciones del pretest no se
distribuyen normalmente, considerando que el p-valor es mucho menor que 0,05. Se muestran a
continuación, los resultados obtenidos:
Fig 3. Resultados de la prueba de hipótesis para probar normalidad de los datos del pretest.
B. Análisis del post test
Luego del uso de GeoGebra como herramienta de apoyo para resolver EDO lineales y de realizar el trabajo
didáctico pertinente, la contabilización de errores observados se muestra en la Tabla 2:
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Se observó que el 75 % de estudiantes obtuvo una calificación igual o menor que 8,38, es decir en el post
test se observó una diferencia positiva en las calificaciones de los estudiantes. Luego, para validar esta
observación se realizó la respectiva prueba de hipótesis. En primer lugar, se realizó un análisis visual; es
importante mencionar que este análisis gráfico no mostró que los datos tuvieran distribución normal, tal
como se observa en la siguiente figura.
Tabla 2. Errores cualitativos contabilizados en el post test.
Adicionalmente, estos fueron los resultados del análisis estadístico descriptivo de las calificaciones
obtenidas por los estudiantes en el post test:
Fig 4. Análisis estadístico descriptivo de los datos del post test.
Fig 5. Gráficos QQnorm para detectar normalidad de los datos.
Más concluyente, la prueba de Lilliefors no proporcionó suficiente evidencia estadística para descartar la
hipótesis nula acerca de la normalidad de las calificaciones del post test.
Fig. 6. Resultados de la prueba de hipótesis para probar normalidad de los datos del post test.
Lascano E. et al. Uso de GeoGebra como recurso didáctico para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
C. Prueba de hipótesis para comparación de muestras pareadas
Considerando que no se cumplieron los supuestos de normalidad de Gauss debido a que los datos del
pretest no siguen una distribución normal, se utilizó la prueba no paramétrica de Wilcoxon para comparar
muestras pareadas, con lo cual se estableció con un 95 % de confianza la existencia de diferencia estadística
entre las medianas de las calificaciones del pretest y del post test, corroborando los resultados de los
análisis descriptivos: 5,63, pretest y 8,38, post test.
Las hipótesis fueron:
Ho: no hay diferencia entre las medianas de las calificaciones del pretest y del post test.
H1: si hay diferencia entre las medianas de las calificaciones del pretest y del post test.
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Fig. 7. resultados de la prueba de hipótesis para comparación de muestra pareadas.
La prueba de hipótesis demostró, con un 95 % de confianza, la existencia de suficiente evidencia estadística
para rechazar la hipótesis nula y permitió concluir que la mediana de las calificaciones del pretest es
diferente a la mediana de las calificaciones del post test. Sin embargo, es importante destacar que, a pesar
de los resultados favorables, habría que realizar observaciones posteriores del desempeño académico de
este grupo de estudiantes para verificar si el aprendizaje obtenido por ellos puede considerarse significativo.
CONCLUSIONES
Los resultados del análisis estadístico demostraron que la estrategia didáctica implementada permitió que
los estudiantes logren una mejor comprensión de la teoría básica de las EDO lineales. Además, se observó
un notable incremento en el rendimiento académico de los estudiantes, evidenciado por un aumento
significativo en sus calificaciones y una mayor participación en las actividades relacionadas con el tema. Estos
hallazgos respaldan la eficacia de la estrategia didáctica empleada para facilitar el aprendizaje de las
ecuaciones diferenciales lineales, lo que sugiere su utilidad como herramienta pedagógica en contextos
educativos similares. Por otra parte, la experiencia obtenida al realizar este trabajo permite afirmar que los
profesores pueden utilizar GeoGebra para crear material de apoyo, ejercicios y actividades de manera
dinámica e interactiva.
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Minerva Journal
Vol.5, Issue N°14, (pp. 29-39)
Lascano E. et al. Uso de GeoGebra como recurso didáctico para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales
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