ISSN-e: 2697-3650
N
´
umero Especial 2025
Revista Minerva
Vol.6, Short Papers, (pp. 07-11)
Tipo de art
´
ıculo: de investigaci
´
on cient
´
ıfica https://doi.org/10.47460/minerva.v6isp.200
Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica:
un enfoque desde el modelo de Markowitz
Optimizing Investment Portfolios Using Quadratic Programming: An Approach from the
Markowitz Model
Ferdinand Eddington Ceballos Bejarano
1
, fceballos@unsa.edu.pe, https://orcid.org/0000-0003-2867-2397
Juan Carlos Hihua
˜
na Hallasi
2
, jhihuana@ucsm.edu.pe, https://orcid.org/0009-0002-9550-1977
Judid Carina Viza Huayllaso
1
, jvizah@unsa.edu.pe, https://orcid.org/0009-0009-8311-7282
1
Universidad Nacional de San Agust
´
ın de Arequipa. Arequipa, Per
´
u.
2
Universidad Cat
´
olica de Santa Mar
´
ıa. Arequipa, Per
´
u.
Recibido (10/01/2025), Aceptado (22/03/2025)
Resumen. Se analiza la aplicaci
´
on del modelo de Markowitz a partir de cinco activos financieros, se construy
´
o una
matriz de rendimientos logar
´
ıtmicos para estimar los par
´
ametros. Mediante la resoluci
´
on computacional se obtuvo el
portafolio
´
optimo que cumple con un retorno m
´
ınimo establecido, minimizando simult
´
aneamente el nivel de riesgo.
Los resultados se visualizaron a trav
´
es de la frontera eficiente, identificando las combinaciones
´
optimas entre riesgo y
rentabilidad. Se concluye que el modelo de Markowitz sigue siendo una herramienta vigente y valiosa para la gesti
´
on
racional de inversiones, especialmente cuando se complementa con recursos computacionales que permiten adaptarlo
a diversos contextos financieros.
Palabras clave: Markowitz, activos financieros, simulaci
´
on computacional, gesti
´
on de inversiones.
Abstract- The application of the Markowitz model is analyzed from five financial assets, a matrix of logarithmic returns
was constructed to estimate the parameters. Through computational resolution, the optimal portfolio was obtained
that complies with an established minimum return, simultaneously minimizing the level of risk. The results were
visualized across the efficient frontier, identifying the optimal combinations between risk and return. It is concluded
that the Markowitz model continues to be a valid and valuable tool for the rational management of investments,
especially when it is complemented with computational resources that allow it to be adapted to various financial
contexts.
Keywords: Markowitz, financial assets, computer simulation, investment management.
I. INTRODUCCI
´
ON
En el
´
ambito de las finanzas modernas, la toma de decisiones sobre inversi
´
on enfrenta desaf
´
ıos crecientes
debido a la volatilidad de los mercados, la diversidad de activos financieros disponibles y la necesidad de
maximizar rendimientos minimizando riesgos. Frente a este contexto, la teor
´
ıa de carteras formulada por
Harry Markowitz en 1952 representa un hito fundamental, al introducir un enfoque cuantitativo basado
en la relaci
´
on entre riesgo y rentabilidad esperada, a trav
´
es del uso de herramientas matem
´
aticas como la
programaci
´
on cuadr
´
atica. El modelo de Markowitz parte del supuesto de que los inversionistas racionales
prefieren carteras con mayor rentabilidad y menor riesgo, medido este
´
ultimo mediante la varianza de los
Cebal los F. et al. Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica: un enfoque desde el modelo de Markowitz
7
ISSN-e: 2697-3650
N
´
umero Especial 2025
Revista Minerva
Vol.6, Short Papers, (pp. 07-11)
retornos. A partir de esta premisa, el modelo permite determinar una frontera eficiente de inversi
´
on que
representa el conjunto
´
optimo de combinaciones de activos. Esta frontera se construye resolviendo un
problema de optimizaci
´
on sujeto a restricciones, que busca asignar los pesos adecuados a cada activo para
obtener el mejor equilibrio riesgo-retorno posible.
Desde la formulaci
´
on del modelo de selecci
´
on de carteras por Harry Markowitz en 1952, la optimizaci
´
on
de portafolios se ha consolidado como un pilar fundamental de la teor
´
ıa financiera moderna [1]. Este modelo
introdujo el concepto de eficiencia en la relaci
´
on riesgo-retorno, proponiendo un enfoque cuantitativo que,
mediante programaci
´
on cuadr
´
atica, permite encontrar combinaciones
´
optimas de activos financieros para
maximizar la rentabilidad esperada bajo un nivel de riesgo aceptable, o bien minimizar el riesgo para una
rentabilidad m
´
ınima establecida. Franco-Arbel
´
aez, Avenda
˜
no-R
´
ua y Barbut
´
ın-D
´
ıaz [2], reflexionaron sobre
la utilidad te
´
orica del modelo de Markowitz y mostraron diversas limitaciones que afectan su aplicabilidad
en contextos reales. Entre los principales desaf
´
ıos identificados, destacan la sensibilidad del modelo a los
estimadores de retornos esperados, la escasa diversificaci
´
on derivada de portafolios altamente concentrados
y la falta de estabilidad ante peque
˜
nos cambios en los datos de entrada. Estas deficiencias, derivadas en
parte del uso exclusivo de datos hist
´
oricos, limitan la robustez del modelo en entornos financieros din
´
amicos.
El mismo estudio propone como alternativa el modelo de Black-Litterman, que extiende el marco te
´
orico
de Markowitz incorporando expectativas del inversionista y t
´
ecnicas bayesianas para ajustar los rendimientos
esperados. Esta evoluci
´
on metodol
´
ogica ha sido ampliamente reconocida por su capacidad de generar
portafolios m
´
as diversificados y estables, permitiendo una gesti
´
on m
´
as intuitiva y realista de las decisiones
de inversi
´
on [3]. La revisi
´
on de estos antecedentes permite reafirmar la relevancia del modelo de Markowitz
como punto de partida en la optimizaci
´
on de carteras, a pesar de sus limitaciones pr
´
acticas. En este contexto,
el presente trabajo se enfoca en una aplicaci
´
on concreta del modelo original, explorando su utilidad mediante
programaci
´
on cuadr
´
atica y simulaci
´
on computacional, lo cual permite comprender sus potencialidades y
limitaciones desde una perspectiva actual [4].
El presente estudio tiene como objetivo aplicar el modelo de Markowitz mediante programaci
´
on cuadr
´
atica
para la optimizaci
´
on de una cartera de inversi
´
on compuesta por cinco activos financieros. A trav
´
es de datos
simulados y el uso de herramientas computacionales, se construir
´
a la frontera eficiente y se analizar
´
an los
resultados obtenidos en t
´
erminos de rentabilidad esperada, riesgo asociado y composici
´
on
´
optima de la
cartera. Con ello, se busca no solo demostrar la aplicabilidad del modelo en contextos reales, sino tambi
´
en
destacar su relevancia como instrumento clave para la gesti
´
on financiera estrat
´
egica.
II. METODOLOG
´
IA
Para el desarrollo del presente estudio se adopt
´
o un enfoque cuantitativo, orientado a la simulaci
´
on
computacional de una cartera de inversi
´
on, utilizando el modelo de Markowitz basado en programaci
´
on
cuadr
´
atica. El proceso metodol
´
ogico se estructur
´
o en varias etapas secuenciales que permitieron desde la
selecci
´
on de activos hasta la generaci
´
on e interpretaci
´
on de la frontera eficiente.
Se seleccion
´
o un conjunto de cinco activos financieros representativos del mercado burs
´
atil. Estos activos
fueron elegidos con base en criterios de diversidad sectorial y disponibilidad de datos hist
´
oricos. Para
garantizar la simplicidad del modelo sin perder validez, se trabaj
´
o con informaci
´
on correspondiente a un
periodo de 12 meses de precios diarios. En esta fase, los datos fueron obtenidos desde fuentes financieras
abiertas, como Yahoo Finance, y generados de forma sint
´
etica para prop
´
ositos acad
´
emicos. A partir de los
precios diarios de cierre de cada activo, se calcularon los rendimientos logar
´
ıtmicos diarios, utilizando la
Cebal los F. et al. Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica: un enfoque desde el modelo de Markowitz
8
ISSN-e: 2697-3650
N
´
umero Especial 2025
Revista Minerva
Vol.6, Short Papers, (pp. 07-11)
ecuaci
´
on (1).
r
t
= ln
P
t
P
t−1
(1)
donde P
t
representa el precio de cierre del d
´
ıa t. Luego, se construy
´
o una matriz de rendimientos que
sirvi
´
o como base para estimar los par
´
ametros necesarios para el modelo: la media de retornos esperados de
cada activo, la matriz de varianzas y covarianzas, y el coeficiente de correlaci
´
on entre activos. La tabla se
referencias como Tabla.
A. Formulaci
´
on del modelo de optimizaci
´
on
El modelo de Markowitz fue formulado bajo el enfoque cl
´
asico de programaci
´
on cuadr
´
atica. El objetivo
fue minimizar el riesgo total del portafolio, definido como la varianza del retorno, sujeto a las siguientes
restricciones:
• La suma de los pesos asignados a los activos debe ser igual a 1.
• El retorno esperado del portafolio debe alcanzar un umbral m
´
ınimo establecido R
min
.
• Los pesos asignados a cada activo deben estar acotados entre 0 y 1 (no se permitieron posiciones
cortas).
Matem
´
aticamente, el problema se expresa como:
ω
T
Σω (2)
sujeto a ω
T
µ ≥ R
min
,
X
i
ω
i
= 1, 0 ≤ ω
i
≤ 1 (3)
donde: ω es el vector de pesos del portafolio; Σ es la matriz de varianzas y covarianzas de los activos;
µ es el vector de retornos esperados; y R
min
es el retorno m
´
ınimo deseado.
B. Implementaci
´
on computacional
La resoluci
´
on del modelo se llev
´
o a cabo utilizando Python y Jupyter Notebook, con el apoyo de librer
´
ıas
especializadas como NumPy, Pandas, Matplotlib y CVXPY. Estas herramientas permitieron programar el
modelo de optimizaci
´
on, simular distintas combinaciones de activos y trazar la frontera eficiente, la cual
representa todas las combinaciones posibles de portafolios
´
optimos para distintos niveles de riesgo. Adicional-
mente, se utiliz
´
o Microsoft Excel para construir tablas de resumen y realizar c
´
alculos auxiliares, facilitando
as
´
ı el an
´
alisis y la validaci
´
on de los resultados obtenidos.
III. RESULTADOS
La Figura 1 muestra la frontera eficiente obtenida mediante la implementaci
´
on del modelo de optimizaci
´
on
de carteras de Markowitz utilizando programaci
´
on cuadr
´
atica. En el eje horizontal se representa el riesgo
del portafolio, medido a trav
´
es de la desviaci
´
on est
´
andar de los rendimientos, mientras que en el eje vertical
se observa el retorno esperado correspondiente a cada combinaci
´
on de activos. Por otra parte, la curva azul
representa todas las combinaciones posibles que ofrecen el mejor retorno esperado para un determinado nivel
Cebal los F. et al. Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica: un enfoque desde el modelo de Markowitz
9
ISSN-e: 2697-3650
N
´
umero Especial 2025
Revista Minerva
Vol.6, Short Papers, (pp. 07-11)
de riesgo, conformando as
´
ı la frontera eficiente. Se evidencia una relaci
´
on creciente y convexa, caracter
´
ıstica
de este modelo, donde conforme se incrementa el riesgo tolerado por el inversionista, es posible acceder a
mayores retornos esperados.
Fig. 1. Frontera eficiente generada a partir del modelo de Markowitz.
El punto rojo destaca el portafolio
´
optimo, es decir, aquel que cumple con el retorno m
´
ınimo exigido
por el inversionista (en este caso, R
min
= 0, 0003, minimizando al mismo tiempo el nivel de riesgo. Este
portafolio constituye una soluci
´
on eficiente y racional desde el punto de vista del equilibrio entre rentabilidad
y exposici
´
on al riesgo, y es el resultado del proceso de optimizaci
´
on sujeto a las restricciones establecidas en
el modelo.
La Tabla 1 presenta la distribuci
´
on
´
optima de pesos obtenida para cada uno de los cinco activos selec-
cionados en la cartera de inversi
´
on. Estos valores fueron calculados mediante programaci
´
on cuadr
´
atica bajo
el enfoque del modelo de Markowitz, considerando la minimizaci
´
on del riesgo sujeto a un retorno m
´
ınimo
deseado de 0,0003 unidades diarias. Se observa que el modelo asigna mayores proporciones de inversi
´
on a
aquellos activos con una mejor relaci
´
on entre retorno y riesgo, mientras que otros activos, como en el caso
del Activo 4, pueden quedar excluidos si su inclusi
´
on no mejora la eficiencia del portafolio. Esta asignaci
´
on
´
optima de pesos permite construir un portafolio diversificado, en el que se aprovechan las covarianzas entre
activos para reducir el riesgo global. Los resultados evidencian el poder del modelo de Markowitz como
herramienta para la toma de decisiones financieras fundamentadas en an
´
alisis cuantitativo.
Tabla 1. Distribuci
´
on
´
optima de pesos obtenida para cada uno de los activos
Activo Peso ´optimo
Activo 1 0,2438
Activo 2 0,2344
Activo 3 0,2776
Activo 4 0,1823
Activo 5 0,0619
Cebal los F. et al. Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica: un enfoque desde el modelo de Markowitz
10
ISSN-e: 2697-3650
N
´
umero Especial 2025
Revista Minerva
Vol.6, Short Papers, (pp. 07-11)
Como se observa, el modelo favorece una mayor asignaci
´
on de capital al Activo 3 (27,76%), seguido
de los activos 1 y 2, mientras que el Activo 5 recibe la menor proporci
´
on de inversi
´
on. Esta decisi
´
on es
coherente con la l
´
ogica del modelo, que busca maximizar la eficiencia del portafolio al combinar activos
con buena relaci
´
on riesgo-retorno y covarianza favorable entre ellos. La asignaci
´
on resultante garantiza una
diversificaci
´
on adecuada, reduciendo el riesgo total del portafolio sin sacrificar el retorno esperado.
CONCLUSIONES
El presente estudio permiti
´
o aplicar con
´
exito el modelo de Markowitz a la optimizaci
´
on de una cartera
compuesta por cinco activos financieros, empleando t
´
ecnicas de programaci
´
on cuadr
´
atica. A trav
´
es del
an
´
alisis cuantitativo realizado, se logr
´
o construir una frontera eficiente que refleja las combinaciones
´
optimas
entre riesgo y retorno, brindando al inversionista una herramienta poderosa para la toma de decisiones
racionales en contextos de incertidumbre. Los resultados obtenidos evidencian que, bajo ciertas condiciones
y restricciones, es posible identificar un portafolio
´
optimo que minimiza el riesgo para un retorno esperado
deseado. En este caso, el portafolio propuesto presenta una asignaci
´
on diversificada, con predominancia
de activos que ofrecen una mejor relaci
´
on entre rentabilidad y volatilidad, mientras que aquellos menos
eficientes reciben pesos menores.
Asimismo, la visualizaci
´
on gr
´
afica de la frontera eficiente y del punto
´
optimo demuestra la validez del
enfoque te
´
orico de Markowitz, y c
´
omo este puede ser adaptado a entornos reales mediante simulaciones
computacionales. Aunque el modelo tiene limitaciones, como la sensibilidad a las estimaciones de par
´
ametros
y la necesidad de supuestos como la normalidad de los retornos, su aplicabilidad sigue siendo vigente en la
gesti
´
on de portafolios moderna. Por tanto, se puede afirmar que la integraci
´
on de herramientas de an
´
alisis
matem
´
atico con t
´
ecnicas computacionales no solo facilita la evaluaci
´
on cuantitativa de decisiones financieras,
sino que fomenta una comprensi
´
on m
´
as profunda del equilibrio riesgo-retorno, lo cual es fundamental para
construir estrategias de inversi
´
on s
´
olidas, informadas y adaptables al perfil del inversionista.
REFERENCIAS
[1] P. G
´
alvez, M. Salgado, and M. Guti
´
errez, “Optimizaci
´
on de carteras de inversi
´
on: Modelo de markowitz
y estimaci
´
on de volatilidad con garch,” Universidad del B
´
ıo-B
´
ıo, Chile, 2023, [En l
´
ınea]. Disponible en:
https://core.ac.uk.
[2] E. Franco-Arbel
´
aez, W. Avenda
˜
no-R
´
ua, and S. Barbut
´
ın-D
´
ıaz, “Modelo de markowitz y modelo de black-
litterman en la optimizaci
´
on de portafolios de inversi
´
on,” Saber, Ciencia y Libertad, vol. 14, no. 2, pp.
313–330, jul.–dic. 2019.
[3] J. H. Vargas-Dur
´
an, A. C. Rodr
´
ıguez-Patr
´
on, and E. A. Jim
´
enez-Vega, “Optimizaci
´
on de carteras de
inversi
´
on con el modelo de markowitz: aplicaci
´
on con datos reales del mila,” Visi
´
on de Futuro, vol. 26,
no. 1, pp. 37–58, 2022.
[4] G. C. Guerrero Camargo and V. A. Aguilar Arteaga, “El modelo de markowitz para la selecci
´
on de
portafolios de inversi
´
on,” Perspectivas de la Ciencia y la Tecnolog
´
ıa, vol. 5, no. 9, pp. 1–6, jul.–dic.
2022.
Cebal los F. et al. Optimizaci´on de carteras de inversi´on mediante programaci´on cuadr´atica: un enfoque desde el modelo de Markowitz
11
