Minerva Journa
l
ISSN-
e: 2697
-
3650 vol.3, Issue.
9
, (pp.
62-90)
62
Solucionario de
ejercicios de cálculo
integral. Integrales
indefinidas
Capítulo 1: Integración
de funciones por el
método de sustitución.
https://doi.org/10.47460/minerva.v3i9.74
Minerva Journa
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e: 2697
-
3650 vol.3, Issue.
9
, (pp.
62-90)
63
Solucionario de ejercicios de cálculo integral. Integrales indefinidas
Capítulo1
: Integración de funciones por el método de sustitución.
Recibido: 02/0
8
/2022 Aceptado: 18/11/2022
ISBN:
978-9942-42-880-
6
Edición: Primera
Editorial: AutanaBooks S.A.S
INFORMACIÓN DE LOS AUTORES
Juan Segura,
Msc. Ing Eléctrico. Actualmente, investigador y docente
tiempo completo en la carrera de Ingeniería Industrial en la Universidad
Indoamérica. Sede Quito. Ecuador.
https://orcid.org/0000-0002-0625-0719
Universidad Indoamérica
Gerardo Arteaga,
Ingeniero Mecánico, Master en Sistemas
Automotrices. Se desempeña actualmente como Director de la Facultad
de Ingeniería, Industria y Producción de Universidad Indoamérica. Sede
Quito. Ecuador.
https://orcid.org/0000-0001-5465-8551
Universidad Indoamérica
Hernán Espejo
-Viñán
, Msc. Ingeniero Químico y Magister en Gestión
de la Producción Industrial. Actualmente, investigador y docente tiempo
completo en la carrera de Ingeniería Industrial en la Universidad
Indoamérica. Sede Quito. Ecuador.
https://orcid.org/0000-0001-7248-5017
Universidad Indoamérica
Christian Pazmiño,
Ingeniero en Sistemas, Magister en Gerencia de
Sistemas y Tecnologías de la Información. Se desempeña actualmente
como Docente del de la Facultad de Ingeniería, Industria y Producción
de la Universidad Indoamérica. Sede Quito. Ecuador.
https://orcid.org/0000-0001-9545-9567
Universidad Indoamérica
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Kevin Zurita,
Estudiante de noveno nivel de la carrera de Ingeniería Industrial
en la Universidad Tecnológica sede Quito, Ecuador
ORCID:
https://orcid.org/0000-0001-8360-9863
kzurita2@indoamerica.edu.ec
Universidad Indoamérica
Edison
Zambrano,
estudiante
de la carrera de Ingeniería Industrial en la
Universidad Indoamérica sede Quito, Ecuador.
https://orcid.org/0000-0002-7846-4943
ezambrano16@indoamerica.edu.ec
Universidad Indoamérica
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I.
INTRODUCCIÓN
El uso de integrales indefinidas en la
ingeniería
resulta algo indispensable para su formación
profesional pues, se emplean en la elaboración de modelos matemáticos constituidos por ecuaciones
diferenciale
s, los cuales se utilizan para representar los diferentes fenómenos físicos
p
resentes en la
naturaleza. Con respecto a los estudiantes de ciencia e ingeniería, resulta de una gran relevancia el
aprender
la resolución de las mismas por varias razones: por su incidencia de forma significativa en
el desarro
ll
o del pensamiento lógico para el futuro profesional, permite la comprensión adecuada de
los diferentes eventos naturales, los cuales para su estudio se modelan con la utilización de esta
herramienta matemática y, la misma posee múltiples aplicaciones en la solución de problemas de
ingeniería, según sea su área de estudio en particular.
El presente trabajo, consiste en un solucionario de ejercicios propuestos en el libro Cálculo
Diferencial e Integral, Séptima Edición, Mc Graw
Hill,
correspondiente a integrales indefinidas
aplicando el Método de Sustitución y Cambio de Variable. Con el fin de que los estudiantes de
ciencias e ingenierías, puedan contar con un documento adicional, que les permita agilizar el proceso
de aprendizaje correspondiente a la resolución de este tipo de integrales; siendo
e
l aporte más
significativo la demostración de los resultados obtenidos, mediante el proceso inverso denominado
Derivación
. Con la finalidad de
desarrollar
habilidades
en los educandos, tales como:
empoderamie
nto de la necesidad de realizar la verificación de un resultado en una operación
matemática, así como consolidar los nexos existentes entre el Cálculo Integral y Diferencial como
operaciones inversas.
II.
B
ASES
T
EÓRICAS Y
E
JEMPLOS
A.
Patrón de reconocimiento.
Con
el fin de realizar el proceso de integración para funciones compuestas, se establecen dos
técnicas fundamentales: patrón de reconocimiento y cambio de variable. Ambas técnicas se basan en
una sustitución
.
Mediante patrón de reconocimiento, se realiza la sustitución mentalmente. Sin
embargo, con el cambio de variables se escriben los pasos de la sustitución.
La importancia de la sustitución en la integración es comparable en la de la regla de la cadena
empl
eada en la derivación de funciones compuestas.
La regla de la cadena plantea para funciones derivables
,
según la ecuación
(1)
:
[
g
]
=
′
g
g
′
(1)
De la definición de una anti derivada se deduce que:
∫
′
g
g
′
=
g
+
(2)
∫
′
g
g
′
= F (u) + C
(3)
Teorema:
Antiderivación
de una función compuesta
.
Sea
una función cuyo rango es un intervalo
, y sea
una función continua sobre
. Si
es
derivable en su dominio y
es una antiderivada de
sobre
, entonces
∫
g
g
′
=
g
+
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66
Si
=g
,
entonces
=g
′
Y
∫
=
Los ejemplos 1 y 2 muestran cómo aplicar el teorema directamente, reconociendo las presencias
de
y
′
. Observe que la función compuesta en el integrando tiene una función externa
y una función interna. Además, la derivada
′
está presente como un factor del integrando.
∫
g
.
g
′
=
g
Función
Externa
Función
Interna
Derivada de la Función Interna
Ejemplo 1
Reconocimiento del patrón
g
.g
′
dx
Encontrar el patrón en
∫
(1)
Solución
Al igualar
g
=
, se obtiene
(2)
G
=
(3)
y
g
=
=
(4)
Se puede reconocer que el integrando sigue el patrón
′
. Si usa la regla de la potencia
para la integración y el Teorema
Antiderivación
de una función compuesta, se obtiene:
g
g
′
∫
=
(5)
=
(6)
Se puede comprobar utilizando la regla de la cadena para verificar que la derivada de
es el integrando de la integral original
.
=
(7)
′
=
−
′
′
(8)
′
=
(9)
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67
Cambio de variable
.
Mediante un cambio de variables formal, se puede volver a escribir de nuevo toda la integral, en
términos de
y
(o de cualquiera otra variable conveniente). Aunque este procedimiento puede
llevar, más pasos escritos que el de reconocimiento del patrón ilustrado en el ejemplo anterior, es útil
para integrando complicados. La técnica de cambio de variable usa la notación de Leibniz para la
derivada.
Es decir, si
=
,
entonces
=
′
, y la integral por
el
Teorema Antiderivación de
una función compuesta toma la forma
:
∫
′
=∫
=
En virtud de que la derivada produce el integrando original, se sabe que ha obtenido la anti
derivada correcta.
Tomando en cuenta lo antes descrito, los
p
asos a seguir en la integración por sustitución serían
los siguientes
.
Directrices para hacer un cambio de variables
.
1. Elije una sustitución
=
.
Casi siempre es mejor
elegir
la parte interna de una función
compuesta digamos una cantidad elevada a una potencia
2. Calcule
=
′
3. Escriba de nuevo la integral en términos de la variable
.
4. Evalúe la integral resultante en términos de
.
5. Sustituya
por
para obtener una antiderivada en
términos
de
.
6. Compruebe la respuesta mediante derivación.
Regla general de la potencia para la integración
.
Si
es una función derivable de
, entonces
∫
[
]
.
′
=
[
]
no es igual a
−
De modo similar, si
=
entonces
∫
=
no es igual a
−
Ejercicios resueltos.
1.
Complete identificando
y
para la integral
.
Tomando en cuenta lo propuesto en la siguiente integral,
∫
′
=
=
′
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Resuelva los siguientes ejercicios
.
1.1.
∫
0
=
=0
1.2.
∫
=
=
1.3.
∫
=
=
1.4.
∫
.
.
=tan
=
2.
Resolver
las siguientes integrales indefinidas
.
2.1.
∫
(1)
Se considera
=
Y por tanto
=
Sustituyendo en la fórmula
original
de la
integral
∫
=
=
Ahora se realiza la
comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la
función
′
=
′
0
Se resuelve
′
=
Se encuentr
a
que
′
=
La
comprobación
indica
que
al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente al
integrando de la función original
, lo cual
demuestra
que la operación se ha realizado correctamente.
2.2.
∫
(2)
Se considera
=
Y
por tanto
=
Sustituyendo en la fórmula
original
de la integral
∫
=
=
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Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
+
Se deriva la
función
′
=
[
)
′
]+0
Se resuelve
′
=
(
x
)
Se encuentra
que
′
=x
La
comprobación
indica que al derivar la función
=
+
se obtiene una expresión equivalente al
integrando de la función original
, lo cual
de
muestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.3.
∫
(3)
Se considera
=
Y por tanto
=
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
/
=
/
=
/
+
/
+=
/
+
Ahora se realiza
l
a comprobación
Se tiene que
=
/
+C
Se deriva la
función
′
=
.
′
+0
Se resuelve
′
=
Se encuentre que
′
=
La
comprobación
indica que al derivar la función
=
/
+
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual
de
muestra que la operación se ha
realizado correctamente.
2.4.
∫
Se considera
=
Y por tanto
=
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Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
√
=∫
/
=
/
=
/
/
=
−
/
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
−
/
C
Se deriva la función
′
=
−
−
′
0
Se resuelve
′
=
−
−
Se encuentre que
′
=√−
−
La
comprobación
indica que al derivar la función
=
−
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
√
−
−
,
lo cual
de
muestra que la operación se ha
realizado correctamente.
2.5.
∫
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la
integral
∫
=
=
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la
función
′
=
′
0
Se resuelve
′
=
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
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2.6.
∫
Se considera
=
Y por tanto
=
2
⇒
2
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la
integral
∫
=
=
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
′
0
Se resuelve
′
=
2
Se encuentra que
′
=
2
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.7.
∫
Se considera
=
Y por tanto
=
2
⇒
2
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
.
′
0
Se resuelve
′
=
2
Se encuentra que
′
=
2
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La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.8.
∫
Se
considera
=
Y por tanto
=⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
′
0
Se resuelve
′
=
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.9.
∫
√
(9)
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
/
/
=
/
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
/
C
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Se deriva la función
′
=
/
′
0
Se resuelve
′
=
/
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.10.
∫
Se considera
=
5
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
/
/
=
5
/
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
5
/
C
Se deriva la función
′
=
.
.
5
/
.
5
′
0
Se resuelve
′
=
.
5
/
.
⇒
5
/
.
Se encuentra que
′
=
5
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.11.
∫
Se considera
=
Y por tanto
=⇒=/
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Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
=
/
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
/
C
Se deriva la función
′
=
.
.
/
.
′
0
Se resuelve
′
=
/
.
⇒
/
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.12.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
/
/
=
/
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
/
C
Se deriva la función
′
=
.
/
.
′
0
Se resuelve
′
=
/
⇒
/
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
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2.13.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
.
.
.
′
0
Se resuelve
′
=
⇒
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.14.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
C
Se deriva la función
′
=
′
0
Se resuelve
′
=
Se encuentra que
′
=
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La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.15.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
C
Ahora se
realiza
la comprobación
Se tiene que
=
C
Se deriva la función
′
=
.
′
0
Se resuelve
′
=
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.16.
∫
.
(16)
Se considera
=6
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
=
6
C
Ahora se
realiza
la comprobación
Se tiene que
=
6
C
Se deriva la función
′
=
6
6
′
0
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Se resuelve
′
=
.
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.17.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
/
/
=
/
C
Ahora se
realiza
la comprobación
Se tiene que
=
/
C
Se deriva la función
′
=
/
.
′
0
Se
resuelve
′
=
/
.
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.18.
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
/
/
=
/
C
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Ahora se
realiza
la comprobación
Se tiene que
=
/
C
Se deriva la función
=
.
.
/
0
Se resuelve
=
/
.
⇒
/
Se encuentra que
=
√
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
√
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.19.
∫
.
Se considera
=
⟹
=
⟹
=
Y por tanto
=
.
⟹
=
.
⟹
=
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=∫
∫
=
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
=
.
.
0
Se resuelve
=
Se encuentra que
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.20.
∫
.
Se separan
los
términos en diferentes integrales
∫
∫
Se resuelve
cada
integral indefinida
9
.
=
9
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Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
9
Se deriva la función
′
=
.
9
.
.
0
Se encuentra que
′
=
9
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.21.
∫
.
Se considera
=
⟹
=
Y por tanto
=
⟹
=
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
∫
/
=
∫
/
∫
/
=
.
=
..
/
=
/
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
/
Se deriva la función
′
=
/
.
′
0
Se resuelve
′
=
/
.
⇒
/
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
/
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
,
lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.22.
∫
.
Se puede expresar como
∫
Se resuelve la integral
∫
=
.
=
.
=
/
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Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=
/
Se deriva la función
′
(
)
=
(
)
′
0
Se resuelve
′
(
)
=
(
/
)
Se encuentra que
′
(
)
=
√
La comprobación indica que al derivar la función
(
)
=
/
se obtiene una expresión equivalente al
integrando de la función original
√
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.23.
∫
√
()
Se puede expresar como
∫(
7)
/
Se distribuye los productos en integrales
diferentes
∫
∫.
7∫
Se reduce términos semejantes
∫
∫
7∫
Se resuelve
7
=
5
5
7
=
5
5
7
5
5
4
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=
5
5
4
Se deriva la función
′
(
)
=
5
.
5
5
.
4.
0
Se resuelve
′
(
)
=
7
Se extrae factor común
′
(
)
=
/
(
7)
Se encuentra que
′
(
)
=
√
La comprobación indica que al derivar la función
(
)
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
√
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.24.
∫
√
()
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Se puede expresar como
∫
Se distribuye los productos en integrales diferentes
∫
∫
Se resuelve
=
5
5
=
5
5
=
5
5
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
5
5
Se deriva la función
′
=
.
5
.
5
5
0
Se resuelve
′
=
Se extrae factor común
′
=
/
Se encuentra que
′
=
√
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
√
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.25.
∫
Se distribuye los productos en integrales diferentes
∫
∫
Se resuelve
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
0
Se resuelve
′
=
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.26.
∫
Se separan los términos en diferentes integrales
∫
∫
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, (pp.
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Se resuelve
∫
∫
=
.
.
=
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
Se deriva la función
′
=
0
Se resuelve
′
=
+
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
2.27.
∫
√
(27)
Se distribuye los productos en integrales diferentes
9∫
∫.
Se resuelve
9∫
∫
=9
=9.
.
5
5
Se
simplifica
6
5
5
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=6
5
5
Se deriva la función
′
=6
5
.
5
5
0
Se resuelve
′
=9
=
9
Se encuentra que
′
=
9
√
La comprobación indica que al derivar la función
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
√
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
2.28.
∫
(28)
Se distribuye los productos en integrales diferentes
∫8∫.
Se resuelve
8
5
5
=
7
7
=8
7
7
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Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=8
4
Se deriva la función
(
)
=8
(
)
4
.
0
Se resuelve
(
)
=6
5
Se encuentra que
(
)
=(8
3
)
La comprobación indica que al derivar la función
(
)
=
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
(
)
, lo cual demuestra que la operación se ha
realizado correctamente.
2.29.
∫
()
Se puede expresar como
∫
.
.
Se simplifica
∫
.
Se considera
=
Y por tanto
=
Al remplazar y resolver se obtiene
∫
=
.
=
=
()
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=
()
Se deriva la función
(
)
=
()
()0
Se resuelve
(
)
=
()
[
(
)
]
⇒
⇒
.
.
Se encuentra que
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
(
)
=
()
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha
realizado correctamente.
Identidades trigonométricas básicas
1.
=
2.
=
3.
=
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4.
+
=1−
.
5.
+=
6.
+
=
.
3.
Determinar las siguientes integrales de funciones trigonométricas indefinidas.
3.1.
∫
()
Se considera
=
Y por tanto
=
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=−
−=−+
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=−+
Se deriva la función
′
(
)
=−
(
−
)(
)
′
+0
Se encuentra que
′
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
()=−+
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
3.2.
∫
()
Se considera
=
Y por tanto
=
3
Sustit
uyendo en la fórmula original de la integral
∫
=−
−=−
+
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=−
+
Se deriva la función
′
(
)
=−
(
−
)(
)
′
+0
Se encuentra que
′
(
)
=
3
La comprobación indica que al derivar la función
()=−
+
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
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3.3.
∫.
()
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
(−)
(
−
)
=−
cosx+C
Ahora se
realiza
la c
omprobación
Se tiene que
(
)
=−
cosx+C
Se deriva la función
′
(
)
=−
(
−
)(
)
′
+0
Se resuelve
′
(
)
=
(
)
Se encuentra que
′
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
()=−
+
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
3.4.
∫.
()
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
=
senx+C
Ahora se
realiza
la comprobación
Se tiene que
(
)
=
senx+C
Se deriva la función
′
(
)
=
(
)
′
+0
Se resuelve
′
(
)
=
(
)
Se encuentra que
′
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
()=
+
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
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86
3.5.
∫
.
()
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒=/
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫
=
(−)
(
−
)
=−
cos
+C
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=−
+
Se deriva la función
(
)
=−
(
−
)(
)
+0
Se resuelve
(
)
=−
(
−
)(
)
Se encuentra que
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
()=−
+
se obtiene una expresión equivalente
al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado correctamente.
3.6.
∫
(
−
)
(
−
)
()
Se considera
=−
Y por tanto
=−⇒=−
Sustituyendo en la fórmula original de la integral
∫−
=−
−=−sec
(
−
)
+
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=−sec
(
−
)
+
Se deriva la función
(
)
=−sec
(
−
)
tan
(
−
)(
−
)
+0
Se
resuelve
(
)
=−
(
−
)
(
−
)(
−
)
Se encuentra que
(
)
=sec
(
−
)
tan
(
−
)
La comprobación indica que al derivar la función
()=−
(
−
)
+
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
(
−
)
(
−
)
, lo cual demuestra que la operación
se ha realizado correctamente.
3.7.
∫
.
()
Considerando la identidad trigonométrica
=+
⇒
=
−
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87
Se sustituye en la integral original
∫
(
)
Se separan los términos en diferentes integrales
∫
∫
Se resuelve cada integral
+
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
(
)
=+
Se deriva la función
′
(
)
=
(
)
+0
Se resuelve
′
(
)
=
Se encuentra que
′
(
)
=
La comprobación indica que al derivar la función
(
)
=+
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
3.8.
∫
.
()
Se puede expresar como
∫
Considerando
la identidad trigonométrica
=+
⇒
=
Se sustituye en la integral
∫
(
)
Se distribuyen los producto
s
en diferentes integrales
∫
∫
Se resuelv
e
cada integral, considerando lo siguiente:
En la expresión
∫
Se considera
=
Y por tanto
=
⇒
=
Se reemplaza
∫
=
=
()
Mientras tanto en la expresión
∫
Con funciones
trigonométrica
s se puede expresar como
∫
⇒∫
Se separa en diferentes integrales
∫
+∫
⇒∫
+∫
Al resolver se tiene que
+
(2)
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88
Al unir las expresiones
(1 y 2)
se tiene
+++
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
+++
Se deriva la función
′
=
′
+
′
+
′
+0
Se resuelve
′
=
′
+⇒
+
Se simplifica
′
=
[
]
⇒
′
=
⇒
Se encuentra que
′
=
La comprobación indica que al derivar la función
=
+++
se obtiene una expresión
equiv
alente al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha realizado
correctamente.
3.9.
∫..
Considerando la propiedad
.=
[
+
+
]
Se expresa la integral como
∫
[
+
+
]
Se simplifican términos semejantes
∫
[
0+
]
=
∫.
Se considera
=
Y por tanto
=⇒=/
Se reemplaza
∫
=
=
+
Ahora se realiza la comprobación
Se tiene que
=
+
Se deriva la función
′
=
′
+0
Se resuelve
′
=
⇒
⇒
(2sen2xcos2x)
Se encuentra que
′
=senx
cosx
La comprobación indica que al derivar la función
=
+
se obtiene una expresión
equivalente al integrando de la función original
, lo cual demuestra que la operación se ha
realizado
correctamente.
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89
C
ONCLUSIONES
Se considera de una gran importancia para los estudiantes el solucionario planteado de integrales
indefinidas, a través de una sustitución o cambio de variables, pues el mismo contribuye de manera
decisiva en el desarrollo de las competencias necesarias en el futuro profesional. Además, juega un
rol muy importante en la comprensión de los pasos necesarios con el fin de darle solución a este tipo
de integrales, ganando vista en cuanto a las estrategias de solución recomendada para las mismas.
REFERENCIAS
[1]
G. G. Torres, Cálculo integral: un nuevo enfoque, Ciudad de M
xico: Grupo Editorial Patria,
2019.
[2]
G. G. Talavera, Problemas de cálculo diferencial e integral, Ciudad de México: Instituto
Politécnico Nacional, 2010.
[3]
W. V. Bastidas, Cálculo Integral: la integral indefinida y métodos de integración, Santa
Marta: Editorial Unimagdalena, 2014.
[4]
G. G. Torres, Cálculo integral: Serie Universitaria Patria, Ciudad de México: Grupo Editorial
Patria, 2015.
[5]
S. E. G. Calderón, B. E. L. Silva y P. T. Salazar, Cálculo integral, Ciudad de México: Grupo
Editorial Éxodo, 2012.
[6]
F. Cerecedo, J. O. Campos y F. J. Ortiz, Cálculo integral, Ciudad de México: Grupo Editorial
Patria, 2015.
[7]
E. H. Sastoque, E. E. Caballero y W. V. Bastidas, Técnicas de integración en el cálculo
integral, 1 ed., Santa Marta: Editorial Unimagdalena, 2022.
[8]
F. M. Téllez, M. P. C. Uribe y C. A. I. Salomón, Cálculo integral, 4a. ed. ed., Ciudad de México:
Grupo Editorial Éxodo, 2019.
[9]
J. M. Fernández Barroso y J. A. Fernández Muriel, Cálculo de integrales: principales
métodos y ejercicios resueltos, Madrid: Editorial Tébar Flores, 2021.
[10]
J. J. L. G. Guio, J. P. Cardona y J. C. C. Vásquez, Cálculo integral: técnicas de integración,
Bogotá: Ediciones de la U, 2016.
Minerva Journa
l
ISSN-
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-
3650 vol.3, Issue.
9
, (pp.
62-90)
90
[11]
R. Larson, B. Edwards y R. Hostetler, Cálculo diferencial e integral, México: McGraw
-
Hill
Interamericana, 2014.